自适应与高精度数值方法及其理论分析

汤涛

2016

直驱电机 自然冷却 高转矩密度 双向磁场调制自适应算法 移动网格算法 数值模拟

高精度和自适应算法可以大大提高复杂问题数值模拟的效率。该项目主要围绕这个问题进行研究，特别集中在下面两点：高效自适应移动网格算法、无穷区域谱方法。对于非线性双曲守恒型问题的数值模拟，该项目完成人和合作者首次建立了二维守恒型移动网格算法。贡献之一是守恒型插值，根据局部扰动理论导出的插值方法可以同时满足数值解的精度和质量守恒的要求；贡献之二是简化了移动网格的生成格式，把编程复杂的变分方法简化为大家熟知的Gauss-Seidel迭代法。该算法产生的自适应解满足质量守恒、有界变差不增等重要物理性质。这一工作成功地把Harten-Hyman的一维双曲守恒方程的移动网格算法推广到二维，并解决了长期以来二维移动网格算法存在的网格扭曲问题，被工程界和计算物理界广泛采用。计算物理知名学者之后提出的熵-移动网格法、BGK-移动网格方法都是基于该项目发展的移动网格框架。该项目完成人和合作者成功地把守恒移动网格算法应用到计算流体力学若干重要问题中，通过构造和采用最优的后验误差估计首次成功地把移动网格方法应用到非线性最优控制问题中；通过两点边值问题首次严格给出了移动网格计算方法的收敛性结果。美国科学院院士Gottlieb及Orszag在谱方法最早的专著里指出Hermite谱方法收敛速度慢，认为这个谱方法不值得采用。该项目完成人的一个原创工作通过考察级数展开项和Hermite多项式零点的关系，给出了一个有效的缩放因子公式，采用此公式可以改变Gottlieb-Orszag的“Hermite谱方法不值得采用”的判断。该项目完成人和合作者通过研究Fokker-Planck方程、无穷区域反应扩散方程的Hermite谱方法，严格证明了采用缩放因子可以加速Hermite谱方法的收敛速度。由于有了严格的理论结果，Hermite谱方法在采用该项目提出的缩放因子后得到了比较广泛的应用，计算物理著名期刊2013年刊登的标准软件GSGPEs也采用了该项目提出的缩放因子公式。拥有一万四千多名会员的美国工业与应用数学协会（SIAM)三百多名Fellow中亚洲仅有几位。该项目完成人2012年当选的评语是“对计算流体动力学特别是发展自适应算法的贡献”。由于对高精度算法的贡献，该项目完成人2012年获邀为第九届谱方法和高精度算法国际会议（该会源于1989年,是高精度算法最重要的国际会议之一)、2013获邀为第25届英国数值分析双年度会议(该会起源于1965年，很多重要的经典数值算法都起源于此会议）大会报告人。该项目发表代表性论文20篇，至2015年12月共得到SCI他引797次。8篇代表作被SCI他引464次。

南方科技大学

汤涛. 自适应与高精度数值方法及其理论分析. 2016.