A WELL-BALANCED CENTRAL-UPWIND SCHEME FOR A MODEL OF FLUID FLOWS IN A NOZZLE WITH VARIABLE CROSS-SECTION

用守恒的中心-迎风算法解决液体在不同横截面的喷嘴中的流动问题

辛睿潇

11930003

硕士

数学

Alexander Kurganov

2021-05-21

2021-05-21

南方科技大学

深圳

Fluid flows in a nozzle is a very popular area in fluid mechanics. This work fo­cuses on asystem of partial differential equations (PDEs ) that describe fluid flows inone­dimensional (1­D) nozzle. The studied system is a hyperbolic system of balancelaws which cannot be solved analytically. Therefore it is important to derive a efficient,accurate, and robust numerical scheme for this system. In this thesis, we construct awell­balanced central­upwind numerical scheme for the model of fluid flows in a nozzlewith variable cross­section. The central­upwind scheme is a Godunov­type finite­volumeschemeandithasbeenwidelyusedinmanyareasoffluidmechanics, suchastheshallow­waterequations. Itiswell­balanced, asitcancapturetheequilibriumsolutionsforthesys­tem. In order to construct the central­upwind scheme for the studied system, we proceedasfollows. FirstweobtaintheJacobianmatrixofthePDEsystem,finditseigenvaluesanduse them to determine the local speeds of the propagation. Then we recover point valuesofthesolutionoutofthecomputedcellaveragesusingapiecewiselinearreconstructionof(global) equilibrium variable ­ those, which are construct at steady states. Notice that theuse of (global) equilibrium variables will ensure the well­balanced property of the result­ing scheme. Equipped with the reconstructed point values, we employ the central­upwindnumerical fluxes and obtain system of ordinary differential equations (ODEs), which isnumericallyintegratedusingthethree­stagethird­orderstrongstabilitypreservingRunge­Kutta method. The positivity of the computed densities is enforced with the help of the”draining time steps” technique. The developed well­balanced central­upwind scheme istested on a variety of numerical tests, which confirm high accuracy and robustness of theproposed method.

研究液体在喷嘴中的流动是流体力学中一个热门的方向，其中这种现象可以用一个偏微分方程组来描述。由于科学家们都知道我们无法给出绝大多数偏微分方程的代数解，因此，建立一个高效率、高精度的数值解法来解决这个流体力学问题是很有必要的。在文中，我们建立了一个守恒的中心 ­迎风算法来解决液体在任意横截面喷嘴中的流动问题。中心 ­迎风算法是一种 Godunov 型的有限体积法，它在流体力学中的很多方面都得到了应用，例如水波纹方程。这种方法是均衡的，因为它在系统中可以达到稳态，而且它比传统的 Godunov 算法更为精确和有效率。要为我们的问题建立这个算法，我们首先找到了这个系统的稳态，并因此得到了这个偏微分方程组的雅可比矩阵和矩阵的特征值，这个特征值即是流体在系统中的局部速度。然后我们以稳态为变量重构这个系统。在重构中，我们运用了一些数值积分方法，例如中点积分。同时，我们在重构中得到了一些非线性方程；在开始时，我们计划用牛顿迭代法去计算它们的数值解，但我们分析这些非线性方程的一些性质后发现这样会出现问题，因此，我们用将牛顿迭代法和二分法结合的方式来改进方程的解法。为了方便构造方法，我们在文中引入了一些新的概念。为提高方法的精度，我们运用保持强稳定性的 3 阶龙格 ­库塔法计算变量对时间的导数。在算法中，可能会出现结果与它的物理意义冲突的情况，我们用 draining­timestep 来避免这种冲突，这样我们就为此系统建立了算法。最后，我们取了一些黎曼条件进行数值实验。结果显示均衡的中心 ­迎风算法在计算液体在任意横截面喷嘴的流动规律上有着高精度和高效率。

Nozzle Fluid mechanics Well-Balanced Central-Upwind scheme

喷嘴 流体力学 偏微分方程组 守恒 中心-迎风算法

英语

独立培养

南方科技大学

Xin RX. A WELL-BALANCED CENTRAL-UPWIND SCHEME FOR A MODEL OF FLUID FLOWS IN A NOZZLE WITH VARIABLE CROSS-SECTION[D]. 深圳. 南方科技大学,2021.