The quantum Hall effect of nodal-line semimetal

拓扑节线型半金属的量子霍尔效应

赵光琦

11749027

硕士

物理学

卢海舟

2019-05-14

2019-07-11

哈尔滨工业大学

深圳

In 1980, Klaus von Klitzing found the quantum Hall effect in a two-dimensional electron gas, this new phase can’t be described by Landau’s symmetry breaking theory. After that, many scientists were attracted by this novel phenomena. Then in 1982, Thouless and some other physicists proposed a new theory, which needs a topological number to denote the phase, called TKNN invariant. In the meantime, Many experimentalists want to find other topological phases in materials, first the topological insulator, or the quantum spin Hall phase, the system have gapless boundary states and gapped bulk states. And then the topological superconductor, after the topological insulator and superconductor, scientists shifted the focus towards the topological semimetals, this shift was triggered by the theoretical discovery of Weyl and later Dirac semimetals. Within the past couple of years, the experimental realization of Weyl and Dirac semimetal brought this field to a hot point in condensed matter physics, topological semimetal has gapless bulk states and the corresponding surface states, which have many topological properties. Generally speaking, The integer quantum Hall effect should only be observed in a two dimensional system, But recently, scientists proposed that the quantum Hall effect can exist in the semimetal through the Weyl orbit, and there are some experiments that confirmed that Dirac semimetal CdAs have the quantum Hall effect. The theoretical calculation of quantum Hall effect in Dirac and Weyl semimetal all be done. In this research, we researched a new topological semimetal, nodal-line semimetal, which has a line Fermi surface. First, We read the papers recently published in this field, summed up the materials that were proposed or identified to be a nodal-line semimetal, classified different nodal-line semimetals through different symmetries. The topological properties of nodal-line semimetal were deduced, we began from a model Hamiltonian that contains all the topological properties of nodal-line semimetal, calculated the topological invariants of nodal-line semimetals, including the Winding number, which is an one dimensional kx, ky depending topological number, we find the nodal-line semimetal has a nonzero winding number when kx, ky meet some condition. Then the Berry phase, it has a ±π values, the sign depends on different integral loops. We testified that the Berry phase is equivalent to the winding number in the topological semimetal. The surface states of nodal-line semimetal were also deduced for three cases, distinguished by with or without trivial terms in Hamiltonian and with or without magnetic field, and we saw the bulk-boundary correspondence of topological semimetal, with means the properties of the boundary is depended by the bulk properties, which have a profound physical significance. Then We calculated the quantum Hall effect of nodal-line semimetal numerically by using the Kubo formula, we found that like the Dirac semimetal and the Weyl semimetal, the topological nodal-line semimetal can also hold the quantum Hall effect, which is the most significant result in this research. Finally, we want to figure out the reason behind the three dimensional quantum Hall effect of topological semimetal, we researched the factors effect of sample thickness and Fermi energy to the quantum Hall effect, explained the results by using the Onsager relation, analyzed the origin of 3D quantum Hall effect simply and inroduced the works we will do next.

1980 年，Klaus von Klitzing 等人在半导体异质结的二维电子气中发现了量子 霍尔效应 (The quantum Hall effect) 这种新的态不能被朗道的对称性破缺理论来描 述。之后，科学家被这种新颖的现象所吸引，1982 年，Thouless 和合作者提出了一 个新的理论，这种理论用一个拓扑数来描述这种量子霍尔相，被称为 TKNN 不变 量，也叫做第一陈数，首次在凝聚态物理中引入了拓扑的概念。与此同时，许多实 验学家也希望在材料中寻找出来其他拓扑相。首先是拓扑绝缘体，也被叫做量子 自旋霍尔相，这种体系具有无能隙的边界态和有能隙的体态，这种奇特的能带性 质导致其能在表面态导电而体系内部绝缘，其表面的二维电子是研究量子霍尔效 应的好的平台。之后是拓扑超导体，绝缘体可以具有拓扑性质，那超导体也应该可 以，从这个简单的想法出发，科学家的确发现了这样一种拓扑超导体，里面具有一 些新奇的粒子，如 Majorana 费米子。之后由于拓扑 Weyl 半金属和 Dirac 半金属的 理论发现，科学家将焦点转移到拓扑半金属上来，在过去的几年里，Weyl 和 Dirac 半金属的实验实现使这一领域成为凝聚态物理学的热点，拓扑半金属有无能隙的 体态和对应的边界态，具有一些非平庸的拓扑性质，如非平庸的贝利相，绕数等。 对于整数量子霍尔效应，通常来说，只能在二维系统中观察得到，因为二维 体系下能带才能形成离散的朗道能级而使得电导只由边界态提供，体态不参与输 运，从而使得表面产生无耗散电子传输。但最近科学家提出量子霍尔效应可以通过 Weyl 轨道存在于半金属中，并且有一些实验证实 Dirac 半金属 CdAs 可以具有量子 霍尔效应。到目前为止，Dirac 和 Weyl 半金属中的量子霍尔效应已经被理论计算得 到，在本论文中，我们研究了一类新的拓扑半金属，拓扑节线型半金属 (Topological nodal-line semimetal)。相对于 Dirac 半金属和 Weyl 半金属的点状费米面，这种新 的半金属的费米面在第一布里渊区是一条线，叫做 nodal ring，这就导致其在边界 态具有更高的态密度，输运性质更好，因此更可能适应于实际应用。拓扑节线型 半金属由于具有更高的拓扑结构，因此需要额外的对称性来保护，其对称性被破 坏之后，就会转变为 Dirac 半金属，Weyl 半金属或者拓扑绝缘体。 本论文中，第一章，我们首先简要地介绍量子霍尔效应，拓扑绝缘体以及拓 扑半金属的相关基础。我们还额外列出了三维量子霍尔效应，因为这与一般的二 维量子霍尔效应有较大的区别，之前有理论表明三维不存在量子霍尔效应，但是 新观察到的实验现象似乎在打破这一理论。之后，我们通过阅读最近发表的关于拓扑节线型半金属的文章，总结了提出或着被确定为节线型半金属的材料，由于 节线型半金属可能由不同的对称性保护，我们并通过对称性对不同的节线型半金 属大致分为了四类。之后，通过文献引述，简要地解释了我们的课题来源，主要为 解决节线型半金属量子霍尔效应数值计算。回顾了国内外关于拓扑节线型半金属， 三维量子霍尔效应等的研究现状，最后列出我们主要的研究内容，主要包括拓扑 节线型半金属体态拓扑性质与表面态的计算，霍尔电导的数值计算以及霍尔电导 相关参数分析。 第二章，我们推导了节线型半金属的一些拓扑性质，首先，构造了一个节线型 半金属的所有拓扑性质的两袋模型哈密顿量，这个两带模型能够体现拓扑节线型 半金属的能带性质，导带和价带相交于一条线。由这个哈密顿量出发，计算了节线 型半金属的一些拓扑不变量。我们计算了节线型半金属的绕数 (Winding number)， 这是一个一维的由 kx，ky 决定的拓扑数，计算分为三种情况，连续模型，也就是 我们构造的初始模型，由于通常的体系因为有杂质具有能隙，我们计算了系统有 能隙时的绕数，最后对于一个晶格模型，我们也计算了他的绕数，总结全部我们发 现，当 (kx，ky) 点处于拓扑节线型半金属导带和价带相交的区域之内时，也就是 处于 nodal ring 内部时，可以计算得到非零的绕数值。然后我们在简要介绍了一下 贝利相 (Berry phase) 之后，计算了拓扑节线型半金属的贝利相。计算得到，在取 不同的积分环路时，当积分环路绕过切只绕过 nodal ring 一次时，贝利相有不同的 ±π 值，其正负取决于所绕的动量值的正负，当积分环路不绕过 nodal ring 时，贝 利相的值为 0。绕数和贝利相都是系统体态的性质，我们证明了拓扑半金属中的贝 利相与绕数的等价性，由于计算绕数时需要保证正无穷大和负无穷大是同一个点， 因此计算绕数所历经的积分路径和计算贝利相的积分环路是等价的。计算完成系 统体态的拓扑性质之后，我们分三种情况计算了拓扑节线型半金属的边界态，区 分条件是哈密顿量有没有平庸项和体系有没有磁场，当体系没有平庸项，没有磁 场时，计算得到了零能的表面态，当体系具有平庸项时，可以计算得到鼓装的表面 态，其表面态都以 nodal ring 为边界，分布在 nodal ring 的内部。对比拓扑节线型 半金属体态的拓扑数与表面态的结果，可以发现这些性质之间有着很深刻的联系， 所有的性质都与 nodal ring 的位置有很大的关系，贝利相和绕数的存在保证了边界 态的存在。在拓扑半金属中，边界的性质可以被体态的性质决定，叫做体态-边界 态对应 (bulk-boundary correspondence)，其具有深远的物理意义。计算了这个模型 的拓扑性质之后，我们可以确定，这一模型具有我们所需要的用于计算量子霍尔 效应的所有性质，因此我们开始计算此体系的量子霍尔效应。 在第三章我们利用久保公式计算了拓扑节线型半金属的霍尔电导，首先我们简要地介绍了一下久保公式，而且计算了在二维的情况下，久保公式可以用贝利 相来表示，也就是说，二维情况下如果体系具有非零的贝利相就说明可以具有量 子霍尔效应，通过一个二维周期性边界模型作了简要说明。之后，我们数值计算 了一个块状样品的量子霍尔效应，通过 Fortran 程序编程以及 MPI 并行程序，利用 久保公式，首先在垂直于 nodal ring 的磁场下取一组基底，写出模型的哈密顿量矩 阵，用基底将矩阵延展后，再计算得到相应的本征态和本征能量，之后计算速度算 符的矩阵，将计算得到的本征值，本征能量，速度带入久保公式后即可计算得到霍 尔电导。根据之前的文章选择合适的参数，计算得到的霍尔电导处于 e2/h 的整数 倍的数值上，因此得到结论，类似于 Dirac 半金属和 Weyl 半金属，拓扑节线型半 金属也可以存在量子霍尔效应，这是本论文最主要的结果。 第四章，由于这种存在三维拓扑半金属体系中的量子霍尔效应与通常只存在 于二维的量子霍尔效应有很大的不同，其产生机理目前尚无定论，有一种理论解 释是对于 Weyl 半金属，Weyl orbits 可连接上下两个面的 Fermi arc，形成这种三维 的量子霍尔效应。对于拓扑节线型半金，此我们也想要简要的分析一下拓扑半金 属中三维量子霍尔效应形成的原因，对此，我们研究了样品厚度和费米能量对量 子霍尔效应的影响，并利用 Onsager 关系解释了得到的结果。对于样品厚度，我们 发现，当改变样品厚度，但厚度不产生量子限制效应时，样品的厚度不会影响量子 化的霍尔电导的值。对于费米能量，由表面态决定的 Onsager 关系，我们可以得到 费米能和霍尔平台宽度的关系，通过与数值计算得到的霍尔平台关系的比较，我 们可以发现，其数值大小比较吻合，因此可以确定，当磁场垂直于 nodal ring 时， 拓扑节线型半金属的量子霍尔效应是由表面态带来的。但这些证据还不足以完全 说明，我们之后会对这一方面进行更加深入的研究。 本论文的主要结论有，一，用一个拓扑节线型半金属的两带模型计算得到了 拓扑节线型半金属的体态拓扑性质和边界态以及他们的关系，绕数，贝利相，鼓状 表面态与 nodal ring 的位置相关联，表面态由体态所决定，存在体态-边界态对应 的现象。二，数值计算得到了拓扑节线型半金属的霍尔电导，发现此体系会有量 子霍尔效应。三，计算了参数样品厚度与费米能对量子化的霍尔电导平台的影响， 并利用 Onsager 关系，解释了其原因，初步推测其量子霍尔效应来源于边界态。

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Zhao GQ. The quantum Hall effect of nodal-line semimetal[D]. 深圳. 哈尔滨工业大学,2019.