PRICING DERIVATIVES VIA FOURIERTRANSFORM

傅里叶变换在金融衍生品定价中的应用

吴振清

11649042

硕士

概率论与数理统计

曾萍萍

2018-06-08

2018-07-06

哈尔滨工业大学

深圳

In this thesis, we mainly introduce the applications of Fourier transform in financialderivatives. Before we talk about specific applications, we have given a brief introduction to the history, types, functions of derivatives and the applications of the Fourier transform. We mainly introduced two applications of Fourier transform. The first one is that we can use the Fourier transform to solve the partial differential equation with respect to derivative price. The other is that we can utilize the high performance of the fast Fourier transform.Under Jump-diffusiom model, taking the American call option as an example, we transform the homogeneous integro-partial differential equation with respect to the option price on a region restricted by the early exercise boundary to an inhomogeneous integro- partial differential equation on an unrestricted region. Then by Fourier transform, we can transform the inhomogeneous integro-partial differential equation into an ordinary differ- ential equation. Utilizing inverse Fourier transform, the solution of ordinary differential can be converted into an integral equation with respect to option price and early exercise boundary. Similarly, by the boundary condition, we can get another integral equation. Then we can obtain the option price and early exercise boundary by solving the system of integral equations.We have derived the partial differential equation for Heston model, and the character- istic functions for Heston model are obtained by this equation. Finally, we applied the fast Fourier transform to the Heston model to get the prices of the European call options. We have made a comparison between some methods through some numerical experiments, and the advantages of the fast Fourier transform is obvious.Finally, we have proposed a new Fourier method. This method can not only utilize the high performance of fast Fourier transform，but also overcome the disadvantages ofCarr and Madan’s method that are involving a damping function and excessive dependenceon the kinds of derivatives.

本文主要介绍了傅里叶变换在金融衍生中的应用。在讲述具体应用之前，我们先对衍生品的发展历史、种类、功能以及傅里叶变换的应用做了一个简短 的介绍。我们主要分两个方面介绍了傅里叶变换的应用，其一是利用傅里叶变 换求解衍生品定价表达式，其二是利用快速傅里叶变换的计算优势快速得到不 同执行价格下的期权价格。我们在 Jump-diffusion 模型下，以美式看长期权为例，首先将期权价格在有 限区域上的齐次积分偏微分方程转换为无界区域上的非齐次积分偏微分方程， 再利用傅里叶变换将非齐次积分偏微分方程转换为常微分方程，最后利用傅里 叶逆变换将常微分的解转换为一个关于期权价格与行权边界的一个积分方程， 同样我们由边界条件可以得到另一个关于期权价格与行权边界积分方程。进而 我们可以通过求解积分方程组来得到期权价格和行权边界。我们推导了在 Heston 模型下，期权价格所应满足的偏微分方程，利用该方 程得到了 Heston 模型的特征函数。最后我们将快速傅里叶变换应用到了 Heston 模型上，并求解欧式看长期权的价格。我们利用数值实验计算时间与结果对不 同方法进行了比较，快速傅里叶变换的优势是显而易见的。最后，我们提出了一种新的傅里叶方法。该方法不仅能利用快速傅里叶变 换的计算优势，还弥补了 Carr 和 Madan 方法中需要引入阻尼函数和过分依赖衍 生品种类的不足。在 第 一 章 中，我 们 对 金 融 衍 生 品 做 了 较 为 完 备 的 介 绍。衍 生 品 主 要 可 以 分为三类:期权、期货和掉期，期权和期货是衍生品市场的基本元素，掉期和 其 它 衍 生 品 基 本 可 以 由 这 两 类 衍 生 品 构 成。得 益 于 各 种 定 价 方 法、计 算 机 硬 件、交易市场的发展，在近几十年间，衍生品市场以令人惊讶的速度在世界范 围内发展。从衍生品使用者的角度出发，衍生品可以用于风险管理，也可以用 作 投 资 工 具，提 供 具 有 高 杠 杆 率 的 赌 约，有 时 衍 生 品 也 可 以 为 达 成 特 殊 的 金 融交易提供降低成本的交易方式，通过衍生品交易，有时可以规避监管条例、 税收以及会计规定。最早的衍生品定价理论可以追溯到 1900 年，法国数学家 Louis Bachelier 第一次引入随机过程来刻画股价波动。经过 Fisher Black、Myron Scholes、Robert C Merton 等人的发展，衍生品定价理论己相当成熟。傅里叶变 换在衍生品定价中因出发角度不同而有不同的应用。从衍生品价值所应满足的 偏微分方程出发，我们可以利用傅里叶变换将偏微分方程转化为常微分方程，进而通过求解常微分程得到定价表达式。从概率论的角度出发，衍生品价值是无风险测度下的支付的期望，等价于求解一个积分，当需要计算一系列的衍生 品价格时我们可以利用快速傅里叶变换的计算优势，但遗憾的是由于该积分零 点是奇异的，该方法一直没有实现。直至 1999 年 Carr 和 Madan 通过引入阻尼 函数首次利用快速傅里叶变换计算了不同执行价格下的期权价格。此后，许多 学者将该方法推广到不同的衍生品或者引入更加快速的傅里叶框架。但 Carr 和 Madan 方法需要引入阻尼函数以及过分依赖衍生品种类的不足一直没有得到改 善，当计算不同的衍生品价格，我们需要重新推导定价表达式，受此启发，我 们试着探求一种新的傅里叶方法。在 第 二 章 中，我 们 介 绍 了 多 种 传 统 模 型 的 求 解 方 法。我 们 利 用 无 风 险 概 率 的 方 法 求 解 了 Black-Scholes 模 型，首 先 找 到 无 风 险 测 度，在 该 测 度 下 折 现 的 标 的 物 价 值 是 一 个 棋，衍 生 品 价 值 就 是 在 该 测 度 下 支 付 函 数 的 期 望。我 们 也 利 用 数 值 方 法 求 解 了 该 模 型 下 的 隐 含 波 动 率，在 Black-Scholes 模 型 的 假 设 下，波 动 率 是 一 个 常 数，但 我 们 求 的 所 求 隐 含 波 动 率 是 一 条 曲 线，这 证 明 用 Black-Scholes 模型刻画股价波动是不够准确的:我们利用动态复制的方法求解 了二叉树模型，首先构造了由标的物和债券组成的投资组合，通过去调整标的 物和债券的数量使得投资组合与衍生品具有相同的价值，通过衍生品的初始价 值与投资组合的初始价值是一致的来给衍生品定价。我们也证明了二叉树模型 是收敛到 Black-Scholes 模型的，但因二叉树模型计算简便便于理解，同样有着 广泛的应用:我们利用无风险套利的方法求解了 Jump-diffusion 模型，首先构造 了由标的物和衍生品组成的投资组合，考虑其微小时间内的价值变换量，得到 随机微分方程，为使该投资组合无风险，我们令随机项的系数为零，从而得到 衍生品价值所应满足的偏微分方程，我们可以利用有限差分、有限元等方法求 解偏微分方程来得到衍生品价值。在第三章中，以 Jump-diffusion 模型下的美式看长期权为例，我们介绍了如 何利用傅里叶变换得到衍生品定价表达式。为利用傅里叶变换，我们首先将有 界区域上的齐次偏微分方程转换为无界区域上的非其次偏微分方程，经傅里叶 变换作用后，该方程可以转换为便于求解的常微分方程，最后利用傅里叶逆变 换以及卷积公式，我们可以得到一个具有较好金融涵义的定价表达式，美式看 长期权的价值可以表示为欧式看长期权的价值加上提前行权溢价。该表达式为 一个关于期权价格与行权边界的一个积分方程，同样我们由边界条件可以得到 另一个关于期权价格与行权边界积分方程。进而我们可以通过求解积分方程组来得到期权价格和行权边界。在第四章中，我们利用 Inverse 定理证明了传统的期权定价表达式。在考虑 期权价值的傅里叶变换时，当执行价格趋于零时，期权价值趋于标的物现价， 所以期权价值的傅里叶变换是不存在的，所以 Carr 和 Madan 引入了阻尼函数， 使阻尼函数与期权价值的乘积的傅里叶变换是存在的。我们给出了定价公式的 详细推导，并讨论了有效阻尼因子的确定方法，也给出了数值计算中控制截断 误差的方法。为进行数值计算，我们讨论了快速傅里叶变换的原理，其本质是 乘法结合律使计算简化，最后给出如何利用快速傅里叶方法得到不同执行价格 下的期权价格的具体过程。在第五章中，为将 Carr 和 Madan 的方法应用到随机波动率模型 Heston 模 型，该模型的波动率是一个 Ornstein-Uhlenbeck 过程。我们利用无风险套利的方 法得到了 Heston 模型的偏微分方程，因 Heston 模型中有两个随机项，所以我们 构造了由两种独立衍生品和标的物组成的投资组合，考虑投资组合在微小时 间内的价值变化量，得到随机微分方程，最后令随机项系数为零得到偏微分方 程。利用该方程我们得到了 Heston 模型的特征函数。我们对 Heston 模型的参数 影响进行了讨论，两个标准布朗运动间的相关系数会使密度函数产生偏移，当 其大于零时，相对对数正态分布向左偏移，当其小于零时，相对对数正态分布 向右偏移。Ornstein-Uhlenbeck 过程的波动率控制密度函数的峰值，波动率越大 密度函数的峰值越大，尾部越厚。我们可以通过调整 Heston 模型的参数来更好 地拟合历史数据分布。最后我们成功地利用特征函数以及傅里叶变换，得到了 Heston 模 型 下 不 同 执 行 价 格 下 的 期 权 价 格。同 时 我 们 对 不 同 的 方 法 进 行 了 比 较，在保持参数一致的情况下，我们利用传统方法、未使用快速傅里叶变换的 Carr 和 Madan 的方法、使用快速傅里叶变换的方法分别计算了 128 个不同执行 价格的期权价格，三种方法的结果是一致的，通过计算时间可以看出快速傅里 叶方法的计算优势是显而易见的。在第六章中，为克服 Carr 和 Madan 方法中需要引入阻尼函数以及过分依赖 衍生品种类的不足，我们引入复的傅里叶变换，使衍生品价值的直接傅里叶变 换存在。我们利用复的傅里叶变换将 Heston 模型下衍生品价值所满足的偏微分 方程转换为便于求解的黎卡提方程，最后利用傅里叶逆变换得到衍生品的定价 表达式。在文章中我们以欧式看长期权为例，给出了定价表达式的具体推导过 程，该过程无需引入阻尼函数。考虑不同种类的欧式衍生品定价表达式的推导 过程，我们只需改变常微分方程的初始条件，也就是衍生品支付函数在到期日 的复的傅里叶变换，这只改变了定价表达式中一独立项。我们通过数值实验将 复的傅里叶方法与 Carr 和 Madan 的方法进行了比较，其数值结果是一致的。一方面我们通过期权平价公式得到了欧式看跌期权的价值，另一方面我们通过改变初始条件得到了欧式看跌期权的价值，两种方法的数值结果是一致的，这进 一步突出了复的傅里叶方法的优势。在本文中我们系统介绍了傅里叶变换在金融衍生品定价中的两种应用，并 且成功改进了 Carr 和 Madan 方法在中需要引入阻尼函数以及过分依赖衍生品 种类的不足。与 Carr 和 Madan 方法不同的是，我们利用复的傅里叶方法得到的是不同标的物价格下的衍生品价格。

Financial derivatives Fourier transform Heston model

金融衍生品 傅里叶变换 Heston模型

英语

联合培养

南方科技大学

Wu ZQ. PRICING DERIVATIVES VIA FOURIERTRANSFORM[D]. 深圳. 哈尔滨工业大学,2018.